前言

我再也不敢上课不听了。。。。

让DeepSeek读完整个无穷级数章节pdf以后给我生成了一版，我放这对着看。

不搞跟不上了。。

无穷级数概念、判别法与例题整理

一、概念定义版块

1. 常数项级数

1.1 级数的定义

无穷多个数相加的式子称为无穷级数，记为

称为级数的通项或一般项。

1.2 部分和、余项

前项部分和：
部分和数列：
余项：

1.3 收敛与发散

若（有限），则称级数收敛，为其和。
若没有有限极限，则称级数发散。
若或，则称发散到正无穷或负无穷。

1.4 绝对收敛与条件收敛

绝对收敛：级数本身收敛，且绝对值级数也收敛。
条件收敛：收敛，但发散。
注：绝对收敛的级数必收敛（可由比较判别法或柯西原理得出）。

2. 函数项级数

2.1 函数项级数的定义

设定义在区间上，则

称为函数项级数。
- 部分和：
- 收敛点：使数项级数收敛的
- 收敛域：所有收敛点的集合
- 和函数：，定义在收敛域上。

2.2 一致收敛

设（逐点收敛）。若（与无关），当时，有

则称在上一致收敛到，或称级数在上一致收敛。
- 几何意义：当充分大时，曲线完全落在带状区域内。
- 一致收敛逐点收敛，反之不成立。

2.3 内闭一致收敛

若函数序列在区间内的任一闭区间上都一致收敛，则称其在上内闭一致收敛。

2.4 一致有界

存在，使得对所有和所有，有。

3. 幂级数

3.1 幂级数的定义

形如的函数项级数称为幂级数。通常讨论的情形：。

3.2 收敛半径与收敛区间

存在（可为），使得当时级数绝对收敛，当时发散。称为收敛半径。
开区间称为收敛区间。端点需单独判断敛散性，收敛域可能是之一。

3.3 泰勒级数

若在处有任意阶导数，则称

为在处的泰勒级数。当时称为麦克劳林级数。
- 泰勒级数不一定收敛到，收敛到的充要条件是余项。

4. 傅里叶级数

4.1 三角级数与傅里叶级数

三角级数：
设以为周期且在上可积或绝对可积，则其傅里叶系数为
以此系数构成的三角级数称为的傅里叶级数，记作

4.2 三角函数系的正交性

函数系在区间上两两正交，即任意两个不同函数的乘积在上的积分为零。

4.3 正弦级数与余弦级数

只含正弦项的傅里叶级数称为正弦级数（奇函数的傅里叶级数）。
只含余弦项的傅里叶级数称为余弦级数（偶函数的傅里叶级数）。

5. 广义积分（与级数相关的定义）

5.1 广义积分的收敛性

以为奇点：收敛存在有限。
以为瑕点：收敛存在有限。

5.2 绝对收敛与条件收敛

绝对收敛：收敛。
条件收敛：收敛，但发散。

二、判别法版块

1. 常数项级数

1.1 级数收敛的必要条件

若收敛，则。（逆不成立，如调和级数）

1.2 柯西收敛原理

级数收敛，当时，对任意正整数，有

1.3 正项级数判别法

定理（单调有界准则）：正项级数收敛其部分和数列有上界。

比较判别法：设为正项级数。
- 一般形式：若存在及常数，当时，则收敛收敛；发散发散。
- 极限形式：若，则
* 且收敛收敛；
* 且发散发散。

达朗贝尔比值判别法：设，。
- 若，则级数收敛；
- 若，则级数发散；
- 若，判别法失效。

柯西根值判别法：设，。
- 若，收敛；若，发散；失效。
- 当极限不存在时，可用上极限：上极限收敛，下极限发散。

柯西积分判别法：存在非负连续递减函数使，则级数与反常积分同敛散。

拉阿伯判别法：设，。
- 若，级数收敛；
- 若，级数发散；
- 时需进一步判断。

1.4 交错级数判别法

莱布尼茨判别法：设交错级数（）满足：
① 单调递减；
② ，
则该级数收敛，且余项估计。

1.5 任意项级数判别法

阿贝尔判别法：设，若
① 收敛；
② 单调有界，
则收敛。

狄利克雷判别法：设，若
① 的部分和数列有界；
② 单调趋于，
则收敛。

2. 函数项级数

2.1 一致收敛的柯西收敛原理

级数在上一致收敛，当时，对任意和所有，有

2.2 魏尔斯特拉斯优级数判别法（M判别法）

若存在正项级数收敛，且对一切成立，则在上一致收敛（且绝对收敛）。

2.3 阿贝尔判别法Ⅱ

设在上一致收敛，对每个，单调，且在上一致有界，则在上一致收敛。

2.4 狄利克雷判别法Ⅱ

设的部分和序列在上一致有界，对每个，单调，且在上一致收敛于，则在上一致收敛。

2.5 一致收敛级数的性质

连续性定理：若各项连续且级数内闭一致收敛，则和函数连续。
逐项求积分定理：若在上一致收敛且各项连续，则和函数可积，且积分与求和可交换。
逐项求导数定理：若各项可微，内闭一致收敛，且至少一点收敛，则可逐项求导。

3. 幂级数

3.1 阿贝尔定理

设幂级数在处收敛，则在内绝对收敛；若在处发散，则在处发散。

3.2 收敛半径公式

若（允许或），则收敛半径（约定 , ）。
若，同样（上极限情形也适用）。

3.3 幂级数的分析性质

在收敛区间内绝对收敛，内闭一致收敛。
和函数在收敛域内连续（若在端点收敛，则单侧连续）。
可逐项求导、逐项积分，且新级数的收敛半径不变。

3.4 泰勒级数展开的充分条件

若存在使对一切及充分大的成立，则可展开为泰勒级数。

4. 傅里叶级数

4.1 收敛性判别法

黎曼-勒贝格引理：若在上可积或绝对可积，则

局部化定理：傅里叶级数在点处的敛散性仅依赖于在附近的取值。

迪尼判别法：设，令。若存在使在上可积或绝对可积，则傅里叶级数在处收敛于。

约当判别法：若在的某个邻域内单调（或有界变差），则傅里叶级数收敛于。

利普希茨条件：若在附近满足阶利普希茨条件（），则傅里叶级数收敛于。

可微性条件：若在处存在（单侧）导数，则傅里叶级数收敛于（或左右极限的平均值）。

4.2 傅里叶级数的逐项积分与导数

逐项积分：不论傅里叶级数是否收敛，总可以在任意区间上逐项积分，且得到的数项级数收敛。
逐项求导：若连续、分段可微且，则可在导数存在的点上逐项求导，得到的傅里叶级数。

4.3 贝塞尔不等式与帕塞瓦尔等式

贝塞尔不等式：。
帕塞瓦尔等式：若平方可积，则上式取等号。

5. 广义积分（与级数平行的判别法）

5.1 柯西收敛原理

广义积分（为唯一奇点）收敛，当时，。

5.2 比较判别法

设在奇点附近非负，且。
- 若且收敛，则收敛。
- 若且发散，则发散。
常用比较对象：
- ：收敛
- 为有限瑕点：收敛

5.3 狄利克雷判别法（广义积分）

设为唯一奇点，若
① 有界（对）；
② 单调且，
则收敛。

5.4 阿贝尔判别法（广义积分）

设为唯一奇点，若
① 收敛；
② 单调有界，
则收敛。

三、例题版块（每个定义/判别法附一例）

1. 常数项级数

1.1 级数的定义与收敛性

例：判别级数的敛散性，收敛时求出其和。
解：因为

所以级数收敛，和为。

1.2 级数收敛的必要条件

例：判别级数的敛散性。
解：因为，由必要条件知该级数发散。

1.3 柯西收敛原理

例：证明调和级数发散。
解：取和，则

故对，柯西条件不满足，从而发散。

1.4 比较判别法

例：判别级数的敛散性。
解：当时，，调和级数发散，故发散；当时，利用积分判别法或比较可得收敛。

1.5 达朗贝尔比值判别法

例：判别。
解：，故当时收敛，时发散，时需另判。

1.6 柯西根值判别法

例：判别。
解：，故收敛。

1.7 柯西积分判别法

例：讨论级数（）。
解：取，积分当收敛，发散，故级数同。

1.8 拉阿伯判别法

例：判别。
解：，故发散。

1.9 莱布尼茨判别法

例：判别。
解：递减趋于，故条件收敛。

1.10 阿贝尔判别法

例：已知收敛，单调有界，则收敛（对每个）。

1.11 狄利克雷判别法

例：判别（）。
解：有界，单调趋于，故收敛。

2. 函数项级数

2.1 一致收敛的M判别法

例：判别在上的一致收敛性。
解：，而收敛，故一致收敛。

2.2 阿贝尔判别法Ⅱ

例：判别在上的一致收敛性。
解：一致收敛，单调有界，故一致收敛。

2.3 狄利克雷判别法Ⅱ

例：证明在任何有限区间上一致收敛。
解：的部分和有界，递减趋于（对固定），且一致趋于，故一致收敛。

2.4 连续性定理

例：的和函数连续（因内闭一致收敛）。

3. 幂级数

3.1 求收敛半径

例：求的收敛半径。
解：，故。

3.2 和函数

例：求的和函数。
解：逐项求导得，积分得，。

3.3 泰勒展开

例：展开。
解：，。

4. 傅里叶级数

4.1 傅里叶系数计算

例：（），周期延拓。
解：，，故。

4.2 迪尼判别法应用

例：（），处傅里叶级数收敛于（因为可积）。

4.3 帕塞瓦尔等式

例：由的傅里叶级数得。

5. 广义积分

5.1 比较判别法

例：判别（）。
解：时被积函数，积分收敛；时，收敛，故原积分收敛。

5.2 狄利克雷判别法（广义积分）

例：判别。
解：有界，单调趋于，故收敛（条件收敛）。

5.3 阿贝尔判别法（广义积分）

例：收敛，因为收敛，单调有界。