前言
我再也不敢上课不听了。。。。
让DeepSeek读完整个无穷级数章节pdf以后给我生成了一版，我放这对着看。
不搞跟不上了。。
无穷级数概念、判别法与例题整理
一、概念定义版块
1. 常数项级数
1.1 级数的定义
无穷多个数 相加的式子称为无穷级数，记为
称
为级数的通项或一般项。
1.2 部分和、余项
1.3 收敛与发散
- 若 （有限），则称级数 收敛， 为其和。
- 若
没有有限极限，则称级数发散。
- 若 或 ，则称发散到正无穷或负无穷。
1.4 绝对收敛与条件收敛
- 绝对收敛：级数 本身收敛，且绝对值级数 也收敛。
- 条件收敛： 收敛，但
发散。
- 注：绝对收敛的级数必收敛（可由比较判别法或柯西原理得出）。
2. 函数项级数
2.1 函数项级数的定义
设 定义在区间 上，则
称为函数项级数。
- 部分和：
- 收敛点：使数项级数 收敛的
- 收敛域：所有收敛点的集合
- 和函数：，定义在收敛域上。
2.2 一致收敛
设 （逐点收敛）。若 （与 无关），当
时，有
则称 在 上一致收敛到 ，或称级数 在 上一致收敛。
- 几何意义：当 充分大时，曲线
完全落在带状区域 内。
- 一致收敛
逐点收敛，反之不成立。
2.3 内闭一致收敛
若函数序列 在区间
内的任一闭区间上都一致收敛，则称其在 上内闭一致收敛。
2.4 一致有界
存在 ，使得对所有 和所有 ，有 。
3. 幂级数
3.1 幂级数的定义
形如 的函数项级数称为幂级数。通常讨论
的情形：。
3.2 收敛半径与收敛区间
- 存在 （可为 ），使得当 时级数绝对收敛，当 时发散。 称为收敛半径。
- 开区间
称为收敛区间。端点 需单独判断敛散性，收敛域可能是
之一。
3.3 泰勒级数
若 在 处有任意阶导数，则称
为 在 处的泰勒级数。当
时称为麦克劳林级数。
- 泰勒级数不一定收敛到 ，收敛到
的充要条件是余项 。
4. 傅里叶级数
4.1 三角级数与傅里叶级数
- 三角级数：
- 设 以 为周期且在
上可积或绝对可积，则其傅里叶系数为
- 以此系数构成的三角级数称为
的傅里叶级数，记作
4.2 三角函数系的正交性
函数系 在区间
上两两正交，即任意两个不同函数的乘积在 上的积分为零。
4.3 正弦级数与余弦级数
- 只含正弦项的傅里叶级数称为正弦级数（奇函数的傅里叶级数）。
- 只含余弦项的傅里叶级数称为余弦级数（偶函数的傅里叶级数）。
5. 广义积分（与级数相关的定义）
5.1 广义积分的收敛性
- 以 为奇点： 收敛
存在有限。
- 以 为瑕点： 收敛 存在有限。
5.2 绝对收敛与条件收敛
二、判别法版块
1. 常数项级数
1.1 级数收敛的必要条件
若 收敛，则 。（逆不成立，如调和级数）
1.2 柯西收敛原理
级数 收敛 ，当
时，对任意正整数 ，有
1.3 正项级数判别法
定理（单调有界准则）：正项级数收敛 其部分和数列有上界。
比较判别法：设 为正项级数。
- 一般形式：若存在 及常数 ，当 时 ，则 收敛 收敛； 发散 发散。
- 极限形式：若 ，则
* 且 收敛 收敛；
* 且 发散 发散。
达朗贝尔比值判别法：设 ，。
- 若 ，则级数收敛；
- 若 ，则级数发散；
- 若 ，判别法失效。
柯西根值判别法：设 ，。
- 若 ，收敛；若
，发散； 失效。
- 当极限不存在时，可用上极限：上极限 收敛，下极限 发散。
柯西积分判别法：存在非负连续递减函数 使 ，则级数
与反常积分
同敛散。
拉阿伯判别法：设 ，。
- 若 ，级数收敛；
- 若 ，级数发散；
- 时需进一步判断。
1.4 交错级数判别法
莱布尼茨判别法：设交错级数 （）满足：
① 单调递减；
② ，
则该级数收敛，且余项估计 。
1.5 任意项级数判别法
阿贝尔判别法：设 ，若
① 收敛；
② 单调有界，
则 收敛。
狄利克雷判别法：设 ，若
① 的部分和数列有界；
② 单调趋于 ，
则 收敛。
2. 函数项级数
2.1 一致收敛的柯西收敛原理
级数 在 上一致收敛 ，当
时，对任意 和所有 ，有
2.2
魏尔斯特拉斯优级数判别法（M判别法）
若存在正项级数 收敛，且
对一切 成立，则 在 上一致收敛（且绝对收敛）。
2.3 阿贝尔判别法Ⅱ
设 在 上一致收敛，对每个 ， 单调，且 在 上一致有界，则 在 上一致收敛。
2.4 狄利克雷判别法Ⅱ
设 的部分和序列在
上一致有界，对每个 ， 单调，且 在 上一致收敛于 ，则 在
上一致收敛。
2.5 一致收敛级数的性质
- 连续性定理：若各项连续且级数内闭一致收敛，则和函数连续。
- 逐项求积分定理：若在
上一致收敛且各项连续，则和函数可积，且积分与求和可交换。
- 逐项求导数定理：若各项可微， 内闭一致收敛，且
至少一点收敛，则可逐项求导。
3. 幂级数
3.1 阿贝尔定理
设幂级数 在 处收敛，则在 内绝对收敛；若在 处发散，则在 处发散。
3.2 收敛半径公式
- 若 （允许 或 ），则收敛半径 （约定 , ）。
- 若 ，同样 （上极限情形也适用）。
3.3 幂级数的分析性质
- 在收敛区间内绝对收敛，内闭一致收敛。
- 和函数在收敛域内连续（若在端点收敛，则单侧连续）。
- 可逐项求导、逐项积分，且新级数的收敛半径不变。
3.4 泰勒级数展开的充分条件
若存在 使 对一切 及充分大的 成立，则 可展开为泰勒级数。
4. 傅里叶级数
4.1 收敛性判别法
黎曼-勒贝格引理：若 在 上可积或绝对可积，则
局部化定理：傅里叶级数在点 处的敛散性仅依赖于 在 附近的取值。
迪尼判别法：设 ，令 。若存在
使 在
上可积或绝对可积，则傅里叶级数在 处收敛于 。
约当判别法：若 在
的某个邻域内单调（或有界变差），则傅里叶级数收敛于 。
利普希茨条件：若 在 附近满足 阶利普希茨条件（），则傅里叶级数收敛于 。
可微性条件：若 在
处存在（单侧）导数，则傅里叶级数收敛于 （或左右极限的平均值）。
4.2 傅里叶级数的逐项积分与导数
- 逐项积分：不论傅里叶级数是否收敛，总可以在任意区间上逐项积分，且得到的数项级数收敛。
- 逐项求导：若
连续、分段可微且 ，则可在导数存在的点上逐项求导，得到
的傅里叶级数。
4.3 贝塞尔不等式与帕塞瓦尔等式
- 贝塞尔不等式：。
- 帕塞瓦尔等式：若 平方可积，则上式取等号。
5.
广义积分（与级数平行的判别法）
5.1 柯西收敛原理
广义积分 （ 为唯一奇点）收敛 ，当 时，。
5.2 比较判别法
设 在奇点附近非负，且 。
- 若 且 收敛，则 收敛。
- 若 且 发散，则 发散。
常用比较对象：
- ： 收敛
- 为有限瑕点： 收敛
5.3 狄利克雷判别法（广义积分）
设 为唯一奇点，若
① 有界（对 ）；
② 单调且 ，
则 收敛。
5.4 阿贝尔判别法（广义积分）
设 为唯一奇点，若
① 收敛；
② 单调有界，
则 收敛。
三、例题版块（每个定义/判别法附一例）
1. 常数项级数
1.1 级数的定义与收敛性
例：判别级数
的敛散性，收敛时求出其和。
解：因为
所以级数收敛，和为 。
1.2 级数收敛的必要条件
例：判别级数
的敛散性。
解：因为 ，由必要条件知该级数发散。
1.3 柯西收敛原理
例：证明调和级数
发散。
解：取 和 ，则
故对 ，柯西条件不满足，从而发散。
1.4 比较判别法
例：判别 级数
的敛散性。
解：当
时，，调和级数发散，故发散；当
时，利用积分判别法或比较
可得收敛。
1.5 达朗贝尔比值判别法
例：判别 。
解：，故当 时收敛， 时发散， 时需另判。
1.6 柯西根值判别法
例：判别 。
解：，故收敛。
1.7 柯西积分判别法
例：讨论 级数
（）。
解：取 ，积分 当 收敛， 发散，故级数同。
1.8 拉阿伯判别法
例：判别 。
解：，故发散。
1.9 莱布尼茨判别法
例：判别 。
解：
递减趋于 ，故条件收敛。
1.10 阿贝尔判别法
例：已知
收敛， 单调有界，则
收敛（对每个 ）。
1.11 狄利克雷判别法
例：判别 （）。
解： 有界， 单调趋于
，故收敛。
2. 函数项级数
2.1 一致收敛的M判别法
例：判别 在
上的一致收敛性。
解：，而
收敛，故一致收敛。
2.2 阿贝尔判别法Ⅱ
例：判别 在 上的一致收敛性。
解： 一致收敛，
单调有界，故一致收敛。
2.3 狄利克雷判别法Ⅱ
例：证明
在任何有限区间上一致收敛。
解：
的部分和有界，
递减趋于 （对固定 ），且一致趋于 ，故一致收敛。
2.4 连续性定理
例：
的和函数连续（因内闭一致收敛）。
3. 幂级数
3.1 求收敛半径
例：求
的收敛半径。
解：，故
。
3.2 和函数
例：求
的和函数。
解：逐项求导得 ，积分得 ，。
3.3 泰勒展开
例：展开 。
解：，。
4. 傅里叶级数
4.1 傅里叶系数计算
例：（），周期延拓。
解：，，故 。
4.2 迪尼判别法应用
例：（）， 处傅里叶级数收敛于 （因为 可积）。
4.3 帕塞瓦尔等式
例：由
的傅里叶级数得 。
5. 广义积分
5.1 比较判别法
例：判别 （）。
解：
时被积函数 ，积分收敛； 时 ，收敛，故原积分收敛。
5.2 狄利克雷判别法（广义积分）
例：判别 。
解： 有界， 单调趋于
，故收敛（条件收敛）。
5.3 阿贝尔判别法（广义积分）
例： 收敛，因为
收敛， 单调有界。